Parse Webhookを利用して、指定したドメイン宛のメールを指定したURLにPOSTすることができます。POSTには受信したメールのヘッダ、本文、添付ファイルなどの情報が含まれます。このPOSTをアプリケーション側で受けることにより、メール受信をトリガとした処理を実行することができます。
なお、Parse Webhookを利用するには、Domain Authentication設定を行った上でメールを受信するドメインのDNSのMXレコードを修正していただく必要があります。
詳細については、以下の記事をご確認ください。